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¿Qué son los Números Reales? Una forma fácil de entenderlos

Uno de los principales problemas al entender la Matemática se presenta en la concepción abstracta de qué son los números reales. Sabemos con exactitud desde la primaria sobre la existencia de los Números Naturales $\mathbb{N}$, aquellos que usualmente utilizamos para describir cantidades notadas como $\{1,2,3,…\}$. Sin embargo, los Números Naturales no podían utilizarse para contabilizar pérdidas ni diferencias. Así, los Números Enteros $\mathbb{Z}$ , que son el resultado de la unión de los números negativos, el cero, y los positivos $\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}$, llegaron para explicar muchos fenómenos de la naturaleza.

Ahora que sabemos expresar cantidades positivas y negativas, además de la ausencia representada por el $0$, aparentemente no es necesario un nuevo conjunto numérico. El problema de representar fracciones de una cantidad motivó dicha necesidad y es aquí donde conocemos a los Números Racionales $\mathbb{Q}$, Éstos números eran expresados como una fracción común, donde el numerados y el denominador distinto de $0$, pertenecían al conjunto de los Números Enteros. Y bien, ¿existen números que no puedan expresarse como un racional? Los pitagóricos, alumnos de Pitágoras, a quien se le atribuye el tan famoso teorema que lleva su nombre, se dieron cuenta que la $\sqrt{2}$ no podía escribirse como una fracción, y es más, sus decimales eran infinitos y no seguían ningun patrón. A este nuevo conjunto de números se lo llamó Números Irracionales $\mathbb{I}$ . Este problema surgiría al aplicar el Teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo cuyos catetos tuvieran como valor $1$.

Ahora que conocemos los conjuntos numéricos de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$, podemos construir el tan aclamado conjunto de los Números Reales $\mathbb{R}$. Sin embargo, ¿qué son y existe una manera de definirlos? A continuación te mostraremos el cómo los matemáticos tratan a los Números Reales.

Cuerpos

Para comenzar a formalizar a $\mathbb{R}$, hay que tratarlo como un conjunto de elementos, los cuales son compatibles con dos operaciones: suma y producto, multiplicación usual. Decimos que $\mathbb{R}$ es un cuerpo si y solo si, las operaciones aplicadas a los elementos de $\mathbb{R}$ dan como resultado un elemento del mismo $\mathbb{R}$. Por ejemplo:

$$2+3=5$$

$$\frac{1}{3}\times 6 = 2$$

En ambos ejemplos, tanto con suma y producto, el resultado permanece dentro del mismo $\mathbb{R}$. Además, las operaciones deben ser conmutativas, lo cual a priori es evidente.

Cuerpos Ordenados

Si bien es cierto, conocemos la definición básica de cuerpo, pero no hemos establecido una manera de comparar los elementos de $\mathbb{R}$. Para ello, dotaremos al conjunto de una relación de orden “menor o igual”. Por ejemplo, si tomamos dos elementos cualesquiera del $\mathbb{R}$, nos daremos cuenta que existen dos posibilidades; o bien, son iguales o uno es mayor al otro. Mostraremos dos ejemplos de esta forma de ordenar los elementos de $\mathbb{R}$ .

$$0.3=0.3$$

$$\frac{1}{2}<1$$

Además esta relación de orden debe ser compatible con las operaciones del cuerpo, suma y producto. Si deseas conocer más sobre ésta estructura algebraica, sigue aquí.

Cuerpos Ordenados Completos

Finalmente hemos llegado a la última propiedad de $\mathbb{R}$, el cual dice que:

Todo subconjunto acotado superiormente de $\mathbb{R}$ posee supremo”

Para entender esta propiedad, comenzaremos definiendo cota superior y supremo.

  • Cota superior: lo definimos como cualquier número que sea mayor o igual a los elementos de un subconjunto. Por ejemplo, si se toma $A=(1,2)$, conjunto de todos los Números Reales que se encuentran entre $1$ y $2$ excluidos, entonces se dice que $3$ es cota superior de $A$, dado que $3$ es mayor o igual a cualquier elemento dentro de $A$. Asimismo, $5,100,500,400.5$ son cotas superiores de $A$. ¡Verificarlo!
  • Supremo: decimos que un elemento $s$ es supremo de un conjunto $A$ si $s$ es la menor de las cotas superiores. Por ejemplo, si tomamos el conjunto anterior $A=(1,2)$ , entonces comprobaremos que $2$ es el supremo de $A$.
    1. $2$ es cota superior de $A$. En efecto, dado que $2$ es mayor o igual a cualquier elemento de $(1,2)$.
    2. $2$ es la mínima cota superior de $A=(1,2)$. Si tomamos un número menor que $2$, nos daremos cuenta que ya no cumple con la propiedad (1). ¡Comprobarlo!. Entonces $2$ es supremo de $A=(1,2)$.

Una vez entendido el axioma de completitud, se dice que:

“Existe un cuerpo ordenado y completo $\mathbb{R}$, cuerpo de los Números Reales

¿Lo ves?, no ha sido tan sencillo entender a los Números Reales, y es la razón por la que los matemáticos buscaron de manera exhaustiva una forma de definirlos. Hoy en día, el cuerpo de los Reales, se ha convertido en el principio básico del Cálculo, Análisis Matemático y otras áreas de la Matemática.

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Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

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