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Topología

¿Qué es la Topología y por qué es tan desconocida?

La Topología es quizás la más joven de las ramas clásicas de la Matemática. A diferencia de las áreas anteriormente mencionadas, apareció en el siglo XVII bajo el nombre de análisis situs.

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En un artículo anterior se había hablado sobre las áreas fundamentales de la Matemática. Está de más decir que el Álgebra y la Geometría son las más antiguas, pues muchos resultados fueron probados en la antigua Grecia. Sin embargo, el Análisis y la Topología pusieron en duda a muchos lectores. Sabemos perfectamente que el Análisis nació con junto con el límite. Tanto derivadas como integrales pueden ser expresados gracias a esta herramienta matemática. El Análisis ya era un objeto de estudio y desarrollo de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Por si tienes dudas, es conveniente que leas los siguientes artículos para confirmarlo.

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La Topología es quizás la más joven de las ramas clásicas de la Matemática. A diferencia de las áreas anteriormente mencionadas, apareció en el siglo XVII bajo el nombre de análisis situs, en otras palabras, análisis del sitio. Comúnmente, suele decirse que la Topología se encarga del estudio de las figuras contraídas, dilatadas, plegadas o deformadas, de modo que exista una relación biunívoca de sus puntos. Parece difícil de comprender al principio, pero en palabras simples, la transformación de puntos de un objeto, de tal manera que no aparezcan nuevos puntos o se hagan corresponder puntos diferentes. Si aún no lo has entendido, explicaremos este tipo de transformaciones mediante una clásica animación. Notarás que en la deformación la correspondencia de puntos satisface las condiciones anteriores.

La taza y el donut son topológicamente equivalentes

Adicionalmente, puede sobre entenderse que la transformación hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. Si consideramos a esta transformación entre un conjunto a otro, conservado la correspondencia de puntos y que exista una transformación inversa capaz de recuperar al objeto, podemos afirmar que la Topología trabaja con homeomorfismos. Desde el punto de vista matemático, un homeomorfismo es una función continua cuya inversa también es continua. Es por esta razón, que hemos introducido mediante palabras simples tres términos importantes en esta área.

Términos claves

  • Función biyectiva: correspondencia de puntos únicos de un conjunto a otro. Por definición, si existe una función biyectiva, entonces existe una función inversa que corresponde puntos únicos del conjunto de llegada al de partida. En la explicación la hemos llamado transformación para facilitar la compresión del lector.
  • Continuidad: correspondencia de una función de puntos próximos del conjunto de partida a puntos próximos al conjunto de llegada. En otras palabras, si tomamos dos puntos de un conjunto que estén lo suficientemente cerca, sus imágenes en el conjunto de llegada también estarán suficientemente próximos. Nótese que a la imagen de un punto $a$ la definimos mediante la función biyectiva, o sea $f(a)$.
  • Homeomorfismos: Si tenemos una función $f$ biyectiva continua, entonces posee inversa denotada como $f^{-1}$. Basta probar que $f^{-1}$ es continua. Aquí está el verdadero trabajo de los matemáticos, ya que no necesariamente la inversa de una función continua es continua.

A este punto, estoy seguro de que ya tendrás una idea del tipo de aplicaciones que se estudian en la Topología.

Objetos topológicamente equivalentes

En la Topología se estudian los mismos objetos que en la Geometría. Sin embargo, el concepto de topológicamente equivalentes aparece para decirnos que un objeto puede transformarse a otro siempre y cuando exista un homeomorfismo. En la Topología no se consideran ángulos ni distancias. De hecho, no se consideran ni siquiera sus diferencias en el espacio.

Círculo y elipse

En la imagen anterior observamos un círculo y una elipse. Desde el punto de vista de la Geometría, son diferentes más en la Topología, son equivalentes. Para comprobarlo, basta con encontrar una función capaz de convertir el primer objeto en el segundo conversando la correspondencia de puntos y su inversa capaz de regresarlo a su forma (homeomorfismo). Nuevamente, a esto se le llama topológicamente equivalentes. De manera análoga, se puede evidencia que los siguientes objetos son equivalentes desde el punto de vista de la Topología. La esfera y el cubo satisfacen la misma propiedad.

Cubo y esfera

La parte de la matemática desconocida

Muchas son las razones por las cuales se desconoce a la Topología. En primer lugar, se debe a su reciente desarrollo en comparación a las áreas clásicas. La topología no solo se extiende a la Geometría, sino que aparece naturalmente en el Análisis, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Sistemas Dinámicos, por ejemplo. El problema radica en la enseñanza de las Matemáticas. Muchos de los conceptos llevan detrás parte de la Topología y son ignorados por los profesores. Un claro ejemplo de esta deficiencia se puede observar claramente en la definición de continuidad de una función. Por lo general, los estudiantes de cualquier carrera de ingeniería definen a la continuidad de una función $f$ en un punto $a$ como.

$\lim_{x \mapsto a }f(x)=f(a)$.

Sin embargo, esto solo es una consecuencia de la verdadera definición. Para los amantes de la Matemática pura, dejaré la correcta definición en espacios métricos.

Sean (X,d) y (Y,d) espacios métricos. Sea $f: X \rightarrow Y$. $f$ se dice continua en un punto $a$ si para todo $\epsilon >0$ existe un $\delta := \delta(\epsilon , a)>0$ tal que para todo $x\in X$

$d_{X}(x,a)< \delta \Rightarrow d_{Y}(f(x), (f(a))< \epsilon$.

Adicionalmente, puede demostrarse fácilmente que una función es continua si y solo si $\lim_{x \mapsto a }=f(a)$.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

3 comentarios

  • Esto es uno de los puntos que muy pocos como matemáticos logramos definir en estas areas dada en la Topología, pues es important determinar que si debemos entender mejor cada caso y definición dada porque en si nosotros la conocemos una forma, pero no la definimos de forma diferente. esto es lo que nos da lugar a entender de que es un Homeomorfismo, de como se interpreta (significado literal), y como debe ser interpretado el significado de forma matemática. esto nos da lugar a poder dar una diferencia en los que estamos leyendo y ademas podamos entender nos solo de forma matemática si no de forma literal. que es lo que para muchos de nosotros no lo gran entender al 100% gracias.