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La importancia de la Lógica en la Matemática (Breve historia)

Una de las ramas más características de la matemática, e imperdible por las personas que buscan lo racional, es la Lógica Matemática. Aunque la mayoría de matemáticos carecen de una información profunda del área (y hay que resaltar), es cierto que la lógica marcó en el siglo XX la separación de la matemática pasada y contemporánea. Separación que tan solo la Topología lo ha conseguido hacer también. El estudio de la Lógica comenzó como una hibridación de la lingüística, la filosofía y las matemáticas, razón por la cual se cree que ésta no influiría en gran medida dentro de la ciencia, o al menos esto representa el pensamiento común de las personas que no se han adentrado en su estudio.

Un matemático competente sabe distinguir entre lo que demuestra correctamente y lo erróneo. Sin embargo, éste no necesita de una definición formal de “demostración” y, por ende, sus argumentos serán arreglados con una alta confiabilidad. El matemático demuestra, pero el lógico estudia lo que el matemático hace al demostrar.

Aristóteles, siglo IV a.C. fue el primero en dar una concepción rigurosa dentro de su sistema filosófico. La lógica aristotélica fue indispensable en el desarrollo de la ciencia antigua. Sin embargo, sus trabajos dentro de la física, lo llevaron a muchas equivocaciones. Recordemos que, para el siglo XVI, la física de Newton y Galileo acabarían con las teorías aristotélicas sobre dinámica y gravitación. La lógica pasaba por una crisis, donde sólo quedaría en manos de algunos filósofos y matemáticos como Boole, quién intentaría dar el primer salto dentro de la matemática. Lamentablemente, Boole no conseguiría dar su respectiva relevancia dentro de la ciencia. La lógica todavía seguía siendo un trabajo únicamente para quienes mostraban interés en la filosofía de la matemática.

Su primer impacto dentro de la ciencia se atribuye a Frege y Peano, mediante sus ensayos sobre el razonamiento. Éstos se convertirían en el inicio del desarrollo directo de la filosofía del lenguaje y de la matemática. Con la invención del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz, el desarrollo de las teorías obligaba a matemáticos como Gauss y Riemann a sintetizar sus conceptos a partir de números naturales y propiedades elementales de la Teoría de Conjuntos. Frege y Peano, de manera ambiciosa trataron de ser el punto final de la Lógica Matemática.

La verdadera evidencia de la importancia de lógica como herramienta fundamental de la matemática se presentó con Georg Cantor; matemático que trabajaría en la parte más abstracta: La Teoría de Conjuntos. No pasó mucho tiempo para que se diera cuenta, junto con otros matemáticos y filósofos analíticos, sobre las inesperadas contradicciones de sus trabajos. Es común citar a Bertrand Russell, autor de la paradoja que lleva su nombre, como una de los primeros en encontrar dichas inconsistencias. La paradoja de Russell fue explicada de manera didáctica como la “paradoja del barbero”. Sin embargo, su concepción abstracta discute sobre la pertenencia de un conjunto a sí mismo.  En lenguaje matemático, es evidente la contradicción.

Consideraremos a $M$ como el conjunto de conjuntos que no contienen a sí mismo como elementos. Es decir,

$$M= \{x:x\notin x\}$$

Lo cual es posible escribir lógicamente (según la Teoría de Conjuntos de Cantor), cuya lectura es la siguiente: todo conjunto $x$ es elemento de $M$ si y solo si no es elemento de sí mismo.

$$\forall x\left (x\in M \Leftrightarrow x\notin x\right)$$

Si tomamos como conjunto a $M$, se evidencia la contracción, dado que,

$$M\in M \Leftrightarrow M\notin M$$

$M$ es elemento de $M$ si y solo si no es elemento de $M$.

Este problema advirtió a Frege que las reglas para las demostraciones dentro de su teoría necesitaban un mayor trabajo y rigurosidad. Whitehead y Russell, dieron una importante formulación lógica de la Teoría de Conjuntos, sin embargo, fueron los trabajos Zermelo – Fraenkel y de von Neumann – Bernays – Gödel los que establecieron los axiomas (reglas de demostración) de la Teoría de Conjuntos. Axiomas que hasta el momento han servido a los matemáticos para la construcción de teorías y demostración de nuevos teoremas. Este nuevo sistema axiomático ha probado ser consistente a tal punto de no presentar contradicciones, al menos hasta ahora.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

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