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identidad de euler

¿De dónde sale la Identidad de Euler?

Veremos la deducción de la ecuación más mencionada por amantes de la Matemática.

Conocida como la ecuación más hermosa del mundo, la Identidad de Euler debe su nombre al matemático Leonhard Euler, quien establece la relación entre los cinco números más importantes de la matemática.

$e^{\pi i}+1=0$

Si eres observador notarás la increíble relación detrás de cada uno de los elementos de la Identidad de Euler. Si no lo has notado aún, trataremos de explicártelo de manera detallada.

  • $e$: la base del logaritmo natural o neperiano.
  • $\pi$: la relación entre el diámetro de la circunferencia y su radio.
  • $1$: el elemento neutro multiplicativo de los números reales.
  • $0$: el elemento neutro aditivo de los números reales.
  • $i$: la base de los números complejos.

Sin embargo, esta peculiar ecuación es un caso particular de la Fórmula de Euler. Una expresión que permite entender el comportamiento de los números complejos. Por esta razón, antes de probar la Identidad de Euler, probaremos el caso general, donde

$e^{i\theta}=cos(\theta)+i sin(\theta)$.

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Deducción de la Fórmula de Euler

Antes que nada, evitaremos dar las justificaciones rigurosas para que el texto sea agradable para el lector. Consideramos las siguientes series de potencias reales, de la exponencial, coseno y del seno.

$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+… (1)$$

$$sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+… (2)$$

$$cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+… (3)$$

Las series anteriormente dadas son convergentes para todo $x \in \mathbb{R}$. Además, pueden ampliarse al campo de los número complejos, para todo $z \in \mathbb{C}$.

Analizando la expresión $(1)$, y evaluando la serie para $z=i \theta$ se tiene que

$$e^{i \theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \theta)^{n}}{n!}=1+i \theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i \frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!} + i \frac{\theta^{5}}{5!}… (4)$$

Finalmente, de $(2)$, $(3)$ y $(4)$ se ve que para todo $\theta \in mathbb{R}$

$$e^{i \theta}=cos(\theta)+isen(\theta). (5)$$

La identidad de Euler

Evaluando la expresión $(5)$ para $\theta = \pi$

$ e^{i(\pi)}=cos(\pi)+isen(\pi) \Leftrightarrow e^{i(\pi)}=-1 $

$\Leftrightarrow e^{i(\pi)} +1 =0$

Se ha obtenido la famosa identidad que establece la conexión de los números complejos con los reales. Por supuesto, la deducción de la Fómula de Euler puede realizarse por distintos métodos, esperamos que el lector los revise cuidadosamente para entender la importancia de la misma. En la actualidad, muchos problemas de la Variable Compleja se solucionan mediante este tipo de correspondencias con los números reales.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

1 comentario

  • Uno de los detalles dados en la ecuación de Euler es la forma de poder definir las expresiones matemáticas y adema de entender de como se resuelven los tipos de problemas involucrados en la misma, ademas de saber determinar que esta puede utilizarse ta to en casos como en seno y coseno