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Entiende de una vez cómo funciona la lógica matemática

En el artículo anterior, hemos hablado sobre los principales asuntos que se ocupa la lógica dentro de la matemática. En esta ocasión te invito a entender cómo funciona la lógica matemática.

La lógica matemática sirve de fundamento matemático evitando ambigüedades y contradicciones mediante un razonamiento riguroso válido. Para que me entiendas mejor, para llegar a una conclusión válida dentro de la matemática, el proceso por el cual se ha llegado debe ser irrefutable ante cualquier caso. Por lo general, a estos procesos lógicos rigurosos se conocen como demostraciones. Sin embargo, existen algunos enunciados que se usan dentro de la matemática que son imposibles de demostrar; los famosos axiomas. Un axioma es un enunciado que satisface dos condiciones:

  • Se admiten como ciertos y, por lo tanto, no se discute su veracidad
  • Sirven para construir nuevas teorías

Estoy seguro de que a este punto estarás preguntando, ¿qué tiene que ver con la lógica matemática? La respuesta es simple, para comprender dicha definición es necesario explicar cada una de las herramientas que usa la lógica matemática. En muchas páginas de Internet se limitan únicamente a explicar sobre el área, pero, nunca exponen el proceso lógico que utiliza la matemática para establecer una verdad.

Los axiomas y su utilidad

Supongamos que tienes que dibujar un pentágono en una hoja de papel, entonces irás por un libro de geometría básica y seguirás el proceso. El mismo proceso lo podemos hacer para un hexágono, un heptágono, etcétera. Ahora si nos ponemos a reflexionar, te darás cuenta de que un polígono de este tipo coinciden sus números de lados con los ángulos internos. Esto es evidente, responderás. Si tengo un hexágono es obvio que tendrá seis lados y ángulos internos. Para los matemáticos este simple análisis no es suficiente. Es posible que puedas dibujar polígonos hasta de cien lados e ir comprobando que la regla se cumple. Pero ¿si te preguntase si funciona para una figura de enésimos lados? El trabajo ya no es tan sencillo.

Con enésimo me refiero a que puede tener $n$ lados

Cuando una idea funciona, pero no ha sido probada se la conoce como conjetura. ¿Cómo la demostramos? Aquí entra la lógica matemática. ¿Recuerdas a los axiomas?, como se mencionó son enunciados que no se pueden demostrar, es decir que los usaremos a primera instancia. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes:

  • Todo conjunto puede ser bien ordenado
  • Dos rectas paralelas nunca se cortan
  • El sucesor de un número natural $n$ se puede escribir como $n+1$

¿Por qué los axiomas no se demuestran?

Nuevamente espero no confundirte, dado que anteriormente he mencionado que para la matemática todo debe demostrarse. Si bien es cierto esto es verdad, sin embargo, trataré de explicarte de manera simple por qué los axiomas no se demuestran. Para ello usaré la implicación lógica, un conector usado dentro de la lógica.

Llamemos al axioma como la proposición $p$ y a su consecuencia (lo que se ha demostrado a partir de $p$), como $q$. Entonces, tenemos las siguientes posibilidades:

  • El axioma es correcto y la consecuencia es verdadera, entonces, la teoría es correcta
  • Correcto y la consecuencia es falsa, entonces, la teoría es incorrecta
  • Incorrecto y la consecuencia es verdadera, entonces la teoría es correcta
  • Incorrecto y la consecuencia es falsa, entonces la teoría es correcta

Como podrás observar, la teoría es falsa solo cuando la demostración a la que has llegado es falsa. Independientemente de la validez de los axiomas, siempre es posible establecer una teoría consistente y rigurosa.

La demostración matemática

Ya se ha mencionado que lógica matemática provee de un proceso sin ambigüedades. Esto quiere decir que, ante cualquier caso, el enunciado no puede ser refutado. Para llegar a este punto, los matemáticos hacen uso de este proceso lógico matemático denominado demostración. Una demostración es una secuencia de enunciados lógicos que llegan a una conclusión. Por lo general se realizan a partir de los axiomas los cuales no deben ser demostrados. Al resultado de estas demostraciones se les conoce como teoremas. Los teoremas dan origen a los corolarios, éstos a su vez a las definiciones.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

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