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Derivar una función polinomial utilizando solamente matrices

Veremos una de las aplicaciones del álgebra lineal

A lo largo de mi vida como estudiante, me he encontrado con personas que dicen que la matemática que se aprende no se puede aplicar. Es cierto que tanto el cálculo diferencial como el integral tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero ¿qué hay del álgebra lineal? Bueno en esta ocasión veremos la maravillosa elegancia de las matemáticas. Aunque es un procedimiento simple, te servirá para confirmar el valor de cada una de las áreas de la matemática. Hallaremos la derivada de una función polinomial solamente usando matrices.

El isomorfismo del polinomio de grado $n$ y una matriz de $(n+1)\times 1$

Para comenzar con este interesante proceso, te explicaré en qué consiste un isomorfismo. Un isomorfismo es una función biyectiva entre dos conjuntos diferentes. Tal y como su nombre nos orienta, la función mantiene la misma forma del primer conjunto. En este caso, consiste en expresar los elementos de una funcion polinomial de grado $n$ en una matriz de órden $(n+1) \times 1$.

Trabajaremos con una función polinomial de grado $2$ para luego generalizar un método. En este caso, tomamos $p(x)=7+4x+3x^{2}$ y la ubicamos de manera matricial. Así,

$$ p(x)=7+4x+3x^{2}$$

$$p(x)= \begin{pmatrix} 1&x & x^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\ 4\\ 3\end{pmatrix}$$

Nótese, que si realizamos la multiplicación de las matrices, obtendremos como resultado a la función planteada. El segundo paso es tomar únicamente la matriz $A$ como la matriz asociada a los coeficientes de la función polinomial. Entonces,

$$A= \begin{pmatrix}7\\ 4\\ 3\end{pmatrix} $$

De ahora en adelante, trabajaremos con esta matriz para hallar la derivada de la función propuesta.

La matriz asociada a la transformación lineal de la derivada de un polinomio de grado $n$

Comenzaré definiendo qué es transformación lineal. Es una función que va de un espacio vectorial a otro espacio vectorial. Confío que, para este punto, tengas conocimientos básicos de álgebra lineal. Continuando con el tema, usaremos la siguiente transformación lineal $T$ tal que $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$. Te invito a comprobarla tú mismo. Entonces, la transformación lineal satisface la condición:

Si tomamos nuestra matriz $\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}=A$, igual a la que hemos obtenido de los coeficientes de la función polinomial, se tiene que el valor de la transformación lineal da como resultado lo siguiente.

Nombraremos a nuestra matriz obtenida como:

$$B= \begin{pmatrix}4\\ 6\\ 0\end{pmatrix} $$

La derivada de la función polinomial

Para finalizar con este procedimiento, consideraremos la siguiente igualdad. Te recuerdo que es únicamente para funciones polinomiales de enésimo grado. Así,

$$p'(x)=\begin{pmatrix} 1&x & x^{2} \end{pmatrix}B$$

Tomamos la matriz $B$ obtenida anteriormente y analizamos el resultado final.

$$p'(x)=\begin{pmatrix} 1&x & x^{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\6 \\0 \end{pmatrix}= 4+6x$$

Como puedes evidenciar, el resultado que hemos obtenido no es más que la derivada de la función original. Muchos pensarán que es evidente. Sin embargo, gracias a la Matemática y al intelecto humano, las primeras computadoras realizaron este tipo de trabajos solamente usando matrices.

La generalización del método

Para generalizar el método, deberemos considerar algunos factores. Para no complicar el artículo, dejaré en una lista todo lo que necesitas conocer.

  • La matriz asociada a una función polinomial de orden $n$ debe ser de orden $(n+1)\times 1$. De esta manera, si la función es de grado 7, entonce su matriz será de orden $8 \times 1$.
  • La matriz de la transformación lineal es de orden $(n+1) \times (n+1)$.
  • La primera fila de la matriz de la transformación lineal siempre contiene ceros. Si calculamos el determinante de la matriz nos daremos cuenta de que no es invertible. Es decir, no existe una transformación lineal que halle la función original sabiendo su derivada.

¿Te ha parecido interesante? Déjame un comentario y estaré gustoso de leer.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

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