VizyRed
calculator

¿Cuál es la derivada de la función exponencial compleja?

Si ampliamos la función exponecial al campo de los complejos, ¿se conservará la propiedad de $f'(z)=f(z)$?

Desde el estudio del Análisis Real, se sabe que la derivada de la función exponecial $f(x)=e^{x}$ es $f'(x)=e^{x}$. Esto puede comprobarse fácilmente mediante la definición del límite de la derivada. Para ello definimos la función de variable real. Así,

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x)= e^{x}$

Aplicando la definición de derivada en cualquier punto del dominio, se tiene que,

$$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}- e^{x} }{h}$$.

Como la expresión $e^{x}$ no depende de $h$, podemos excluirla al evaluar el límite.

$$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot e^{h} – e^{x} }{h}$$

$$f'(x)= e^{x} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{h} – 1 }{h}$$.

Consideramos la variable $R= e^{h} – 1 $. Luego,

$R+1= e^{h} \Rightarrow \ln( R+1 )=h$

Entonces,

$$f'(x)= e^{x} \cdot \lim_{R \rightarrow 0} \frac{R}{ \ln( R+1 ) }$$

$$f'(x)= e^{x} \cdot \lim_{R \rightarrow 0} \frac{1}{ \frac{1}{R} \ln( R+1 ) }$$.

Luego,

$$f'(x)= e^{x} \cdot \lim_{R \rightarrow 0} \frac{1}{\ln( R+1 )^{\frac{1}{R}} }$$

$$f'(x)= e^{x} \cdot \frac{1}{\ln \left ( \lim_{R \rightarrow 0} \left ( R+1 \right ) ^{\frac{1}{R}} \right )}$$.

Se sabe que $\lim_{R \rightarrow 0} ( R+1 )^{\frac{1}{R}}=e$. Entonces,

$$f'(x)= e^{x} \cdot \frac{1}{\ln(e)}$$

$f'(x)= e^{x}$ , para todo $x \in \mathbb{R}$.

Te puede interesar antes de continuar

¿Qué sucede dentro de la variable compleja?

Sin embargo, si ampliamos la función exponecial al campo de los complejos, ¿se conservará la propiedad de $f'(z)=f(z)$? Las funciones de variable compleja son distintas en muchos aspectos a las de variable real. Para encontrar la dervidada de la función $f(z)=e^{z}$, la definiremos correctamente.

$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, x \mapsto f(z)= e^{z}$ .

Consideramos que cualquier número complejo puede ser escrito como $z=x+yi$. Así,

$f(z)= e^{z}= e^{x+yi}= e^{x} \cdot e^{yi} $.

Por la Fórmula de Euler, se tiene que

$f(z)=e^{x}(cos(y)+isin(y))=$

$=e^{x} cos(y)+i e^{x} sin(y)$.

Como el resultado de aplicar la función $f$ es otro número complejo, puede entenderse que $f(z)=u+vi$. De esta manera, $u= e^{x} cos(y) $ y $v= e^{x} sin(y) $, donde $u,v$ son funciones de variable real definidas de la siguiente manera,

$u,v: \mathbb{R} ^{2} \rightarrow \mathbb{R}$.

Por la Condiciones de Cauchy-Riemann, se sabe que, para que una función de variable compleja sea diferenciable, debe cumplir lo siguiente

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} $ y $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$.

Comprobamos en nuestra función exponencial compleja.

$u’_{x}= e^{x} cos(y) =v’_{y}$, y

$u’_{y}= -e^{x} sin(y)=- v’_{x} $.

En conclusión, la función compleja $f(z)=e^{z}$ es derivable.

Calculando la derivada de la función $f(z)=e^{z}$

Hemos llegado al apartado más sencillo de artículo. Calcularemos la derivada de la función $f(z)=e^{z}$ aplicando la definición usual de derivada por límite. De esta manera,

$$f'(z)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$

$$f'(z)= e^{z} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{h} – 1 }{h}$$.

Como $h$ es un número real, el límite puede resolverse fácilmente mediante la Regla de l’Hôpital. Así,

$$f'(z)= e^{z} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{h} }{1}$$

$f'(z)= e^{z}$, para todo $z \in \mathbb{C}$.

La comprobación del resultado se puede realizar mediante la aplicación de las Condiciones de Cauchy-Riemann. Finalmente,

$$f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x} +i \frac{\partial v}{\partial x}$$

$$f'(z)= e^{x} cos(y)+i e^{x} sin(y) $$

$$= e^{x} \cdot e^{yi} = e^{x+yi} = e^{z} $$.

En conclusión, la derivada de la función exponecial compleja es su misma función. En otra palabras, se comprobó que cumple con la misma propiedad expuesta en la variable real, donde $f(x)=f'(x)$.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

Agregar comentario