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El área bajo la curva sin usar el Teorema Fundamental del Cálculo

La increíble interpretación geométrica de la integral

El Cálculo es una de las áreas con más énfasis en las ingenierías y ciencias. Es tal su importancia, que muchos problemas cotidianos se solucionan mediante su aplicación. El aprendizaje mecánico, nos convence en que existen reglas para resolver estos problemas. De hecho, un estudiante está acostumbrado a memorizar los numerables casos de integración y únicamente aplicarlos sin preguntarse, ¿qué hay detrás del problema del área bajo la curva? En esta ocasión trataremos de abandonar la típica concepción de la integral. Para ello haremos uso de la definición de integral dada por el matemático Riemann.

¿Qué es el Teorema Fundamental del cálculo?

El cálculo como área de la matemática nace con Arquímedes, quien estudiaba el cálculo de áreas y volúmenes. Por supuesto, los resultados que obtenía eran aproximaciones geométricas, pero se convirtió en el primer paso para el descubrimiento de una nueva área. Tuvieron que pasar más de 1800 años para que Isaac Newton junto con Gottfried Leibniz formularan las matemáticas detrás del cálculo. El Teorema Fundamental del Cálculo explica, en palabras simples, que la derivación y la integración son operaciones inversas. Es decir, que para hallar el área bajo la curva de una función $f: X \subset  \mathbb{R} \rightarrow Y \subset  \mathbb{R}$, bastaba con encontrar la función primitiva de $f$. Por definición, la primitiva $F$ cumple con la siguiente condición:

$F'(x)=f(x)$, para todo $x \in X$

Mediante la Regla de Barrow, el área comprendida entre $a$ y $b$ de la curva de la función $f(x)$, donde $f(x) \geq 0$, está definida como:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

La Integral de Riemann

Una vez recordado el Teorema Fundamental del cálculo, pasaremos a definir la integral como la suma de las áreas de los rectángulos bajo $f(x)$. En pocas palabras, la Integral de Riemann expresa el área bajo la curva de $f(x)$ como la suma de dichos rectángulos cuando cada vez son más finos. Es decir, mientras más rectángulos se encuentren, la aproximación del área será más cercana al valor real. Ilustraremos esta idea mediante el siguiente diagrama.

Integral de Riemann

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Para evitar tecnicismos y mantener la lectura agradable para el usuario, no mencionaremos algunas condiciones. Sin embargo, una función es Riemann integrable si satisface lo siguiente:

  • No es muy discontinua en el intervalo $[a,b]$ (Criterio de Lebesgue).
  • f es no negativa, es decir $f(x) \geq 0$ para todo $x \in [a,b]$.
  • f es acotada en el intervalo $[a,b]$.

Aunque la definición formal de la Integral de Riemann puede ser complicada y difícil de entender para muchos, trataremos de presentarla en su forma más simple. Obviamente estará explícita la relación con la Integral de Darbeux.

La partición de $[a,b]$

Una partición $P$ del intervalo $[a,b]$ se define como el conjunto finito de punto, tal que $P=\{ a=x_{0}, x_{1}, …, x_{n}=b\}$, con $x_{i}>x_{i-1}$ y $i=1,…,n$. La norma de la partición se define como el máximo de las distancias entre los puntos de la partición. Es decir $\lVert P \rVert := max \{x_{i}-x_{i-1}, i=1,…,n \}$.

La suma de Riemann

Antes de continuar, quiero aclarar que para que una función sea integrable en el sentido de Riemann, deben cumplirse las condiciones anteriormente mencionadas. Para hacer del ejemplo más práctico, asumiremos los criterios para que $f$ sea integrable, concuerdan.

Si analizamos el gráfico anterior, nos daremos cuenta que la medida de la base del rectángulo puede escribirse como $x_{i}-x_{i-1}$ y su altura será un valor $t_{i}$ comprendido entre $x_{i}$ y $x_{i-1}$, es decir $x_{i} \leq t_{k} \leq x_{i-1}$. Mientras más rectángulos se consideren (la partición tenga más elementos), el valor de $t_{k}$ estará próximo a ser igual a $x_{i}$ y $x_{i-1}$.

Como resultado, el área debajo de la curva $f(x)$ puede expresarse como la suma de todas las áreas de los rectángulos obtenidos a través de la partición. Entonces,

$$\sum_{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1})$$

Si consideramos $n \to \infty$, entonces la partición será más fina y los rectángulos serán infinitos. En otras palabras, al aumentar los elementos de la partición, los rectángulos bajo la curva será más delgados y se reducirá el error de aproximación. La idea puede entenderse mediante la siguiente ilustración.

Aumento de elementos de la partición

Finalmente, se tiene que la integral de la función $f(x)$ en $[a,b]$ es,

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(t_{k})\Delta x$$

El área bajo la curva mediante la Integral del Riemann

Ahora veremos un ejemplo práctico de lo anteriormente expuesto. Para ello consideraremos que la función $f(x)=x^{2}$, Riemann integrable (puedes comprobarlo tú mismo). Vamos a hallar el área bajo la curva entre $0$ y $4$.

Realizaremos la partición del intervalo $[0,4]$, por tanto $\Delta x=\frac{4-0}{n}=\frac{4}{n}$. Así, nuestra partición está dada por,

$P=\{0, \frac{4}{n}, \frac{8}{n},…, \frac{4i}{n}\}$, con $i=1,…,n$

Nótese que como $f$ es Riemann integrable, $t_{k}$ puede tomar un valor entre $x_{i}$ y $x_{i-1}$, es decir que $x_{i} \leq t_{k} \leq x_{i-1}$. Entonces,

$$\int_{0}^{4}x^{2}dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{4k}{n}\right)\left(\frac{4}{n}\right)$$

$$=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{4k}{n}\right)^{2}\left(\frac{4}{n}\right)$$

$$=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{16k^{2}}{n^{2}}\right)\left(\frac{4}{n}\right)$$

$$=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4}{n}\right)\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{16k^{2}}{n^{2}}\right)$$

$$=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4}{n}\right)\left(\frac{4}{n}\right)^{2}\sum_{k=1}^{n}k^{2}$$.

Por inducción se puede probar fácilmente que,

$$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+…+n^{2}$$

$$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Entonces,

$$\int_{0}^{4}x^{2}dx=$$

$$=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{4}{n}\right)^{3}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)$$

$$=\left(\frac{4^{3}}{6}\right)\cdot\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}\right)$$

$$=\left(\frac{4^{3}}{6}\right)\cdot\lim_{n \to \infty}\left(\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}\right)$$

$$=\left(\frac{4^{3}}{6}\right)\cdot\lim_{n \to \infty}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$$

$$\int_{0}^{4}x^{2}dx=\left(\frac{4^{3}}{6}\right)\cdot 2=\frac{4^{3}}{3}$$

La comprobación la realizaremos mediante el Teorema Fundamental del Cálculo. Así, se tiene que,

$$\int_{0}^{4}x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}|_{0}^{4}=\frac{4^{3}}{3}-0=\frac{4^{3}}{3}$$

En ambos procesos hemos obtenido el mismo resultado. Por supuesto, se han omitido varias definiciones y consideraciones con el fin de ser entendible para cualquier usuario. En todo caso, tanto el Teorema Fundamental del Cálculo como la definición de Riemann son equivalentes bajo ciertas condiciones. El proceso mostrado es más riguroso que el usado con recurrencia en todas las ingenierías. Sin embargo, la interpretación geométrica de la integral nos ayuda a comprender cómo se comporta el área bajo la curva de una función.

Andrés Vilatuña Narváez

Estudiante de Matemática, comprometido con la investigación científica. Me apasionan las nuevas tendencias tecnológicas. Escribo e informo mientras me tomo un café.

1 comentario

  • La integral de Rimman conduce al Teorema Fundamental del Cálculo Así es cómo se enseña en los cursos de cálculo y análisis. Existe otros método más rigurosos, la integral de Lebesgue y la integral de Stieljes.